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庞加莱创立组合拓扑学 

拓扑学是研究连续性现象的数学分支,最初属于几何学,拓扑学的思想可以追溯到莱布尼茨,他在1679年提出位置分析,直接对位置关系进行研究而不涉及坐标和度量。1736年,欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题,这是用“组合的”方法解决的第一个具有拓扑性质的问题,标志着拓扑学的开端。19世纪未,拓扑学已形成点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。前者来源于分析学的严格化,把几何图形看作是点的集合,又常把这个集合看作是一个空间,现演化成为一般拓扑学;后者把几何图形看作是出一些基本构件组合而成的,并从这个观点出发研究图形在连续变换下的不变性质,现发展成为代数拓扑学。后来,又相继出现了微分拓扑学和几何拓扑学等分支。

组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他从1892年开始对拓扑学进行系统的研究,在1895—1904年发表的题为《位置分析》的6篇系列论文中创造了用剖分研究流形这一组合拓扑学的基本方法。粗略地并,就是一个n维流形可看作有限个互不相交的维数小于等于n的“胞腔”所组成的族T,其中每一个k维胞腔的闭包同胚于一个k维闭球体,而胞腔本身同胚于闭球体的内部,并且胞腔的边界是族T中一些维数小于等于k-1的胞腔的并。庞加莱引进了许多中重要的不变量,如同调、贝蒂数、基本群、挠系数,并提出了具体计算的方法。他还探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出著名的“庞加莱猜想”,其思想和方法被后继者沿用到1930年代。之后,组合拓扑学逐步演化成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。

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