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闵可夫斯《数的几何》 

数的几何,又称几何数论,是用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。这些数论问题的一个典型例子是:设f( x1,x2 )=a11x21+a12x1x2+a22x22 是一个正定二次型,那么它的值能有多小?用数的几何的方法可以证明,存在不全为零的整数u1,u2,使得

f( u1,u2 )≤√4/3·D ,

这是最佳结果,其中D=a11a22-a212 ,称为这个二次型的判别式。用几何方法研究数论问题缘起于18世纪至19世纪初拉格朗日和高斯等人以几何观点研究二次型算术性质的工作。至19世纪末,德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基为了简化狄利克雷和埃尔米特所建立的丟番图遍近的解析理论,把格和凸集等几何概念引入数论,并把由这一简单而又有效的方法所建立的理论称为“数的几何”。1891年,他发表了关于数的几何的第一篇论文。1896年,他出版了《数的几何》一书。从此,数的几何成为数论的一个独立分支。

闵可夫斯基主要研究了对称凸集,并得到了一些基本性质,表述为数的几何第一基本定理和第二基本定理。第一基本定理是说,对于n维欧氏空间中的一个对称凸集,如果其体积大于或等于2n,那么其内部或边界上必定有一个非零格点(即坐标皆为整数的点)。第二基本定理则是说,对于闭的对称凸集,如果其体积为非零的有限数,那么这个数将满足某个不等式,这个不等式与这个对称凸集的相似形内有多少个线性无关的格点有关。这些定理在丢番图逼近和代数数论中有不少有趣而重要的应用。

闵可夫斯基还看出通过n维空间中的对称凸集可以定义一种新的“距离”,从而产生相应的“几何”。这一想法为1920年代赋范空间理论的创立铺平了道路。

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