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高斯证明代数基本定理 

早在1629年,法国一荷兰数学家吉拉尔就断言:对于n次多项式方程,如果把不可能的(复数)根考虑在内,并包括重根,则应该有n个根。此即代数基本定理。吉拉尔没有给出证明。这个定理后被笛卡儿、牛顿等众多著名学者反复陈述和应用,但均未给出证明。欧拉、拉格朗日等人力图证明,也未能成功。首先给出证明的是被人们誉为“数学王子”的高斯。高斯生于德国不伦瑞克(时属不伦瑞克公国),从小就显出惊人的数学天才。他于1795年进入格丁根大学,第二年便找到正十七边形的尺规作图法,解决了2000年来悬而未决的难题。1799年,高斯向黑尔姆施泰德大学提交博士论文《每个单变量有理整函数均可分解为一次或二次实因式积的新证明》,给出了代数基本定理的第一个实质性证明。

要证明代数基本定理,其实只要证明任何一个n次多项式方程至少有一个根即可。因为如果这个结论成立,那么就可以将这个n次多项式分解为一个一次多项式和一个n-1次多项式的积,于是用数学归纳法即可证得代数基本定理。高斯用的是几何方法,即把多项式方程的根与平面上的点对应起来。他指出P(x+iy)= 0复根a+ib对应于平面上的点(a,b)。如果P(x+iy)= u(x,y)+iv(x,y),其中以u(x,y)和v(x,y)分別是P(x+iy)的实部和虚部,那么(a,b)必定是曲线u(x,y)=0和v(x,y)=0的交点。高斯对这些曲线做了定性研究,证明一条曲线上的一段连续弧连接着两个不同区域上的点,而这两个区域是被另一条曲线隔开的,所以曲线线u=0必定与曲线v=0相交。这个证明多少用了一点几何直观性,不算很完美。后来高斯又给出了代数基本定理的另外3个不同的严格证明。

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